Inverzna funkcija (poglavje)

INVERZNA FUNKCIJA

DEFINICIJA IN POMEN

Inverzna funkcija je funkcija, ki “obrne” delovanje izvorne funkcije. Če funkcija f preslika element x v y, potem njena inverzna funkcija, označena z f⁻¹, preslika y nazaj v x. Pogoj za obstoj inverzne funkcije je, da je funkcija bijektivna, torej hkrati injektivna (različne vrednosti x dajo različne vrednosti f(x)) in surjektivna (vsaka vrednost y iz zaloge vrednosti je dosežena).

Matematično zapišemo: Če f(x) = y, potem f⁻¹(y) = x,
kar pomeni, da velja tudi:
f(f⁻¹(x)) = x in f⁻¹(f(x)) = x.

ZNAČILNOSTI INVERZNE FUNKCIJE

• Definicijsko območje funkcije f postane zaloga vrednosti funkcije f⁻¹,
• Zaloga vrednosti funkcije f postane definicijsko območje funkcije f⁻¹,
• Graf funkcije f⁻¹ je zrcalna slika grafa funkcije f glede na premico y = x.

POSTOPEK DOLOČITVE INVERZNE FUNKCIJE

1. Zapišemo f(x) kot enačbo: y = f(x),
2. Zamenjamo vlogi x in y: x = f(y),
3. Izračunamo y iz dobljene enačbe – to postane f⁻¹(x),
4. Določimo novo definicijsko območje in zalogo vrednosti.

PRIMER

Naj bo funkcija f(x) = 2x + 3.

Korak 1: y = 2x + 3
Korak 2: x = 2y + 3
Korak 3: x – 3 = 2y → y = (x – 3)/2
Torej: f⁻¹(x) = (x – 3)/2

Preverimo: f(f⁻¹(x)) = 2·[(x – 3)/2] + 3 = x – 3 + 3 = x
f⁻¹(f(x)) = (2x + 3 – 3)/2 = 2x/2 = x

INVERZNA FUNKCIJA PRI NEKATERIH FUNKCIJAH

• f(x) = x³ → f⁻¹(x) = ∛x (inverzna obstaja na ℝ)
• f(x) = x² → ni obrnljiva na ℝ, ker ni injektivna; postane obrnljiva, če domeno omejimo na [0, ∞)
• f(x) = eˣ → f⁻¹(x) = ln(x)

ZAKLJUČEK

Inverzna funkcija izraža reverzibilnost matematične preslikave. Njena definicija temelji na zamenjavi odvisnosti med vhodom in izhodom. Za njen obstoj mora biti osnovna funkcija bijektivna. Inverzna funkcija ima pomembno vlogo v algebri, analizi in pri reševanju enačb, kjer želimo »razveljaviti« delovanje funkcije.