Metoda bisekcije

METODA BISEKCIJE

DEFINICIJA IN NAMEN

Metoda bisekcije (tudi metoda intervalnega razpolavljanja) je numerična metoda za iskanje ničle zvezne funkcije na določenem intervalu. Temelji na Bolzanovem izreku, ki pravi, da ima funkcija na intervalu [a,b][a, b][a,b] vsaj eno ničlo, če je zvezna in velja:

f(a) · f(b) < 0,

torej če funkcija pri krajiščih intervala zavzame nasprotna predznaka.

Gre za postopno zoževanje intervala, v katerem leži ničla, dokler ne dobimo dovolj natančne približke.

OSNOVNA IDEJA

1. Začnemo z začetnim intervalom [a,b][a, b][a,b], kjer velja f(a)·f(b) < 0.
2. Izračunamo središče intervala:
   c = (a + b)/2
3. Ugotovimo predznak f(c):
   • Če je f(c) = 0 → c je ničla,
   • Če je f(a)·f(c) < 0 → ničla je med a in c → novi interval: [a,c][a, c][a,c],
   • Če je f(c)·f(b) < 0 → ničla je med c in b → novi interval: [c,b][c, b][c,b].
4. Postopek ponavljamo, dokler je dolžina intervala manjša od želene natančnosti.

ALGORITEMSKI ZAPIS

Za funkcijo f in začetni interval [a0,b0][a₀, b₀][a0​,b0​]:

• korak 0: preveri, da f(a₀)·f(b₀) < 0
• korak n:
    cₙ = (aₙ + bₙ)/2
    če f(cₙ)·f(aₙ) < 0 → bₙ₊₁ = cₙ, aₙ₊₁ = aₙ
    če f(cₙ)·f(bₙ) < 0 → aₙ₊₁ = cₙ, bₙ₊₁ = bₙ

PRIMER

Naj bo funkcija: f(x) = x³ – x – 2, iščemo ničlo v intervalu [1,2][1, 2][1,2]:

• f(1) = –2, f(2) = 4 → f(1)·f(2) < 0 ⇒ pogoji izpolnjeni
• c₁ = (1 + 2)/2 = 1.5 → f(1.5) = 1.5³ – 1.5 – 2 = –0.125
• f(1)·f(1.5) < 0 → nova meja: [1.5, 2]
• c₂ = 1.75 → f(1.75) ≈ 1.61
• f(1.5)·f(1.75) < 0 → nova meja: [1.5, 1.75]
  …
  Postopek se ponavlja, dokler je dolžina intervala manjša od izbrane tolerance, npr. |b – a| < 0.001.

PREDNOSTI IN SLABOSTI

• Zagotavlja konvergenco, če so pogoji izpolnjeni
• Preprosta in robustna metoda
  – Počasna konvergenca
  – Deluje le, če je funkcija zvezna in spremeni predznak na intervalu

ZAKLJUČEK

Metoda bisekcije je klasična in zanesljiva numerična metoda za iskanje ničel zveznih funkcij. Čeprav konvergira počasneje kot druge metode, je enostavna za implementacijo in zagotavlja uspeh, če so osnovni pogoji izpolnjeni. Posebej primerna je za začetno približevanje rešitvi pred uporabo hitrejših postopkov.