Racionalne enačbe in neenačbe

RACIONALNE ENAČBE IN NEENAČBE

DEFINICIJA IN POJASNILO

Racionalne enačbe in neenačbe so enačbe oziroma neenačbe, v katerih nastopajo racionalne funkcije – to so izrazi v obliki kvocienta dveh polinomov. Reševanje teh enačb zahteva posebno pozornost pri definiciji, računskih postopkih in preverjanju rešitev, saj moramo vedno izločiti vrednosti, pri katerih je imenovalec enak nič.

Splošni obliki sta:

• racionalna enačba: P(x)/Q(x) = R(x)/S(x)
• racionalna neenačba: P(x)/Q(x) > 0, P(x)/Q(x) ≤ R(x)/S(x)

REŠEVANJE RACIONALNIH ENAČB

1. Določimo definicijsko območje
Poiščemo vrednosti x, za katere kateri koli imenovalec postane nič. Te vrednosti izločimo, saj funkcija tam ni definirana.

2. Odpravimo imenovalce
Pomnožimo obe strani enačbe z najmanjšim skupnim imenovalcem (NSI), da odstranimo ulomke. Pri tem moramo upoštevati, da te vrednosti ne sodijo v končno rešitev.

3. Rešimo dobljeno enačbo
Rešujemo dobljeno polinomsko enačbo, ki običajno vsebuje le števec.

4. Preverimo rešitve
Vsako rešitev vstavimo v začetno enačbo in izločimo tiste, za katere kateri koli imenovalec postane nič.

Primer

Rešimo: (x – 1)/(x + 2) = (2x + 3)/(x + 2)

Df: x ≠ –2
Pomnožimo z (x + 2): x – 1 = 2x + 3
x – 1 = 2x + 3 → –1 – 3 = x → x = –4
Ker je –4 v definicijskem območju, je rešitev x = –4

REŠEVANJE RACIONALNIH NEENAČB

1. Določimo definicijsko območje
Določimo vse vrednosti x, kjer je imenovalec enak nič, saj funkcija tam ni definirana.

2. Prenesemo vse na eno stran
Če je na desni strani še ena racionalna funkcija, jo prenesemo na levo stran in odštejemo. Dobimo skupni izraz oblike:

(P(x)/Q(x)) – (R(x)/S(x)) > 0

3. Združimo v en ulomek
S pomočjo skupnega imenovalca izraz poenostavimo v eno racionalno funkcijo oblike A(x)/B(x) > 0

4. Najdemo ničle števca in imenovalca
Ničle števca so kandidati za rešitve, ničle imenovalca pa točke, ki jih izločimo iz definicijskega območja.

5. Analiziramo predznake na številskem intervalu
Na premico označimo vse ničle in izločene točke. Dobimo več intervalov. V vsakem izberemo testno točko in ugotovimo, ali izraz v tistem intervalu ustreza neenačbi.

6. Zapišemo rešitev
Sestavimo rešitev kot unijo tistih intervalov, kjer neenačba velja. Upoštevamo tudi odprtost oziroma zaprtost intervalov glede na neenačbo.

Primer

Rešimo: (x – 3)/(x + 1) ≥ 0

Df: x ≠ –1
Ničla števca: x = 3
Ničla imenovalca: x = –1
Intervali: (–∞, –1), (–1, 3), (3, ∞)

Testne točke:
x = –2: (–)/(–) = +
x = 0: (–)/(+) = –
x = 4: (+)/(+) = +

Rešitev: (–∞, –1) ∪ [3, ∞)

ZAKLJUČEK

Racionalne enačbe rešujemo z odpravo ulomkov in natančno analizo dovoljenih vrednosti. Pri neenačbah uporabimo številsko premico, označimo ničle in izločene točke, nato preverimo predznake po posameznih intervalih. Rešitev vključuje le tista območja, kjer je racionalni izraz skladen z neenačbo, ob doslednem upoštevanju definicijskega območja.