Kotne funkcije

KOTNE FUNKCIJE

DEFINICIJA IN POVEZAVA Z ENOTNIM KROGOM

Kotne funkcije so funkcije kota, ki izračunajo razmerja med stranicami pravokotnega trikotnika ali vrednosti koordinat na enotnem krogu. Določene so za realne kote (v radianih ali stopinjah) in se periodično ponavljajo. Osnovne kotne funkcije so:

• sinus (sin)
• kosinus (cos)
• tangens (tan)
• kotangens (cot)

Vse štiri so definirane za različne sklope vrednosti kota, pri čemer imata tangens in kotangens določene točke, kjer nista definirana (kjer pride do deljenja z nič).

GEOMETRIJSKA DEFINICIJA

V pravokotnem trikotniku z ostrim kotom α:

• sin α = nasprotna kateta / hipotenuza
• cos α = sosednja kateta / hipotenuza
• tan α = nasprotna kateta / sosednja kateta
• cot α = sosednja kateta / nasprotna kateta

Te definicije veljajo za kote med 0° in 90° oziroma 0 in π/2 radianov. Za širše vrednosti se kotne funkcije definirajo s pomočjo enotnega kroga.

ENOTNI KROG

Na enotnem krogu (polmer = 1), za kot α:

• točka na krožnici ima koordinate (cos α, sin α)
• tan α = sin α / cos α, če cos α ≠ 0
• cot α = cos α / sin α, če sin α ≠ 0

Funkcije so definirane za vse realne kote, razen v točkah, kjer pride do deljenja z nič.

OSNOVNE LASTNOSTI

• sin α in cos α sta omejena med –1 in 1
• tan α in cot α nista omejena
• sin α je liha funkcija, cos α soda
• Funkcije so periodične:
  • sin in cos: perioda 2π
  • tan in cot: perioda π

VREDNOSTI ZA POSEBNE KOTE

Za kote 0, π/6, π/4, π/3, π/2 so vrednosti znane in pogosto uporabljene:

• sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2
• sin(π/4) = √2/2, cos(π/4) = √2/2
• sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2

Iz njih izračunamo tan in cot, kadar so definirane.

IDENTITETE KOTNIH FUNKCIJ

• Pitagorina identiteta:
  sin² α + cos² α = 1
• tangens in sinus/kosinus:
  tan α = sin α / cos α
• kotangens in kosinus/sinus:
  cot α = cos α / sin α
• sin(–α) = –sin α, cos(–α) = cos α (simetrijske lastnosti)

ZAKLJUČEK

Kotne funkcije opisujejo osnovna razmerja med stranicami pravokotnega trikotnika ali vrednosti na enotnem krogu. So periodične, zvezne (razen na mestih, kjer niso definirane), in temeljne za trigonometrično analizo. Njihovo obnašanje je natančno določeno s simetrijo, identitetami in povezavo s koordinatnim sistemom.