Določeni integral

DOLOČENI INTEGRAL

UVOD V IZRAČUN PLOŠČIN POD GRAFI

Določeni integral je osnovno orodje v analizi za izračun skupne spremembe funkcije na danem intervalu. Za razliko od nedoločenega integrala, ki daje družino funkcij, določen integral vrne konkretno številsko vrednost. Ta vrednost pogosto predstavlja neto ploščino med grafom funkcije in osjo x v določenem intervalu.

DEFINICIJA DOLOČENEGA INTEGRALA

Naj bo f funkcija, zvezna na intervalu [a, b]. Določeni integral funkcije f od a do b označimo z:

∫ₐᵇ f(x) dx.

Ta zapis pomeni, da iščemo vsoto vrednosti funkcije f na intervalu [a, b], uteženo po dolžini tega intervala. V formalnem smislu je to limita Riemannove vsote, ko delitev intervala postaja vse bolj natančna.

LASTNOSTI DOLOČENEGA INTEGRALA

1. Linearnost:
    ∫ₐᵇ [c·f(x) + d·g(x)] dx = c·∫ₐᵇ f(x) dx + d·∫ₐᵇ g(x) dx
   
2. Obrat meje integracije:
    ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵦₐ f(x) dx
   
3. Dodajanje intervalov:
    ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵦ f(x) dx = ∫ₐᵦ f(x) dx
   
4. Če je f(x) ≥ 0 na [a, b], je tudi integral ≥ 0.
   
5. Če je f(x) < 0, je integral negativen – to pomeni, da “ploščina” leži pod osjo x.

OSNOVNI IZREK ANALIZE

Če je F primitivna funkcija funkcije f (torej F′(x) = f(x)), potem velja:

∫ₐᵦ f(x) dx = F(b) − F(a).

Ta izrek povezuje določeni in nedoločeni integral. Z njim se vrednost določenega integrala izračuna s pomočjo primitivne funkcije.

PRIMER: IZRAČUN INTEGRALA ∫₁³ (2x + 1) dx

Najprej najdemo primitivno funkcijo:

∫(2x + 1) dx = x² + x + C.

Uporabimo osnovni izrek:

∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³ = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10.

Torej je vrednost določenega integrala 10.

GEOMETRIČNA INTERPRETACIJA

Določeni integral predstavlja orientirano ploščino pod grafom funkcije med x = a in x = b. Če funkcija na delu intervala leži pod osjo x, prispeva negativno vrednost k rezultatu.

ZAKLJUČEK

Določeni integral podaja natančno numerično vrednost, ki predstavlja skupni prispevek funkcije na izbranem intervalu. Temelji na povezavi z nedoločenim integralom in ima jasno geometrijsko interpretacijo. Njegove lastnosti omogočajo uporabo pri analitičnih in numeričnih izračunih.