Integriranje per partes

INTEGRIRANJE PER PARTES

UVOD V POSEBNO METODO INTEGRIRANJA

Integriranje po delih (latinsko per partes) je ena izmed pomembnejših tehnik za izračun nedoločenih integralov. Temelji na pravilu za odvod produkta dveh funkcij in omogoča reševanje integralov, kjer je podan produkt dveh izrazov, ki samostojno nista enostavna za integracijo.

FORMULA ZA INTEGRIRANJE PER PARTES

Naj bo f(x)·g(x) produkt dveh odvedljivih funkcij. Potem velja:

∫f(x)·g′(x) dx = f(x)·g(x) − ∫f′(x)·g(x) dx.

V bolj uporabni obliki formulo običajno zapišemo kot:

∫u · dv = u · v − ∫v · du,

kjer:

• u je funkcija, ki jo odvajamo (du = u′ dx),
• dv je funkcija, ki jo integriramo (v = ∫dv).

Uspešnost metode temelji na pametni izbiri u in dv, tako da postane integral ∫v·du enostavnejši od začetnega.

IZBIRA FUNKCIJ U IN DV

Za izbiro funkcij pogosto upoštevamo vrstni red prednosti z uporabo pravila LIATE (Logaritemske, Inverzne trigonometrične, Algebraične, Trigonometrične, Eksponentne funkcije), kjer funkcije, višje na seznamu, raje izberemo kot u.

PRIMER: ∫x · e^x dx

Izberemo:

• u = x → du = dx,
• dv = e^x dx → v = e^x.

Uporabimo formulo:

∫x · e^x dx = x · e^x − ∫e^x · dx = x · e^x − e^x + C.

Rešitev: ∫x · e^x dx = e^x(x − 1) + C.

PRIMER: ∫ln(x) dx

Tu uporabimo posebno obliko, kjer ln(x) obravnavamo kot u, ker dv ni izrecno podan. Zapišemo ln(x) kot:

∫ln(x) dx = ∫ln(x) · 1 dx.

Izberemo:

• u = ln(x) → du = 1/x dx,
• dv = dx → v = x.

Sledi:

∫ln(x) dx = x · ln(x) − ∫x · (1/x) dx
= x · ln(x) − ∫1 dx = x · ln(x) − x + C.

ZAKLJUČEK

Integracija po delih je ključna metoda za reševanje integralov produktov funkcij. S pravilo ∫u·dv = u·v − ∫v·du preoblikujemo zahtevnejši integral v lažjega, pri čemer je uspeh metode odvisen od pravilne izbire funkcij. Tehnika se pogosto uporablja tudi večkrat zaporedoma ali v kombinaciji z drugimi metodami.