Kot med krivuljo in koordinatnima osema

KOT MED KRIVULJO IN KOORDINATNIMA OSEMA

UVOD V ORIENTACIJO KRIVULJ V KOORDINATNEM SISTEMU

V dvodimenzionalnem kartezičnem koordinatnem sistemu lahko s pomočjo odvoda funkcije opišemo, pod kakšnim kotom se krivulja – torej graf funkcije – srečuje z osjo x ali y. Pri tem se osredotočimo na tangento v določeni točki grafa, saj tangenta predstavlja najboljšo možno premico, ki v tej točki sledi obliki krivulje.

KOT MED KRIVULJO IN OSJO X

Kot, ki ga tangenta na krivuljo v točki tvori z osjo x, se določa preko smernega koeficienta tangente. Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x0 in f′(x0) njen odvod v tej točki. Potem velja:

tan(α) = f′(x0), kjer je α kot med tangento in pozitivno smerjo osi x.

Od tod lahko kot izračunamo z inverzno tangens funkcijo:

α = arctan(f′(x0)).

Pomembno je razumeti, da je α merjen od pozitivne smeri osi x proti tangenti, in sicer v intervalu (−90°, 90°). Če je f′(x0) > 0, je kot pozitiven (naraščajoča tangenta); če je f′(x0) < 0, je kot negativen (padajoča tangenta).

KOT MED KRIVULJO IN OSJO Y

Za razliko od osi x, se kot med tangento in osjo y ne izraža neposredno preko odvoda f, saj funkcije običajno podajajo y kot odvisen od x. V tem primeru moramo poiskati inverzno funkcijo x = g(y), če ta obstaja, in nato določiti njen odvod. V splošnem velja:

tan(β) = 1 / f′(x0), če f′(x0) ≠ 0,
in
β = arctan(1 / f′(x0)).

V primeru, da je tangenta vodoravna (f′(x0) = 0), potem je kot med tangento in osjo y enak 90°.

PRIMER: FUNKCIJA F(X) = X² V TOČKI X = 1

Odvod: f′(x) = 2x → f′(1) = 2.
Kot med tangento in osjo x:
α = arctan(2) ≈ 63,43°.

Kot med tangento in osjo y:
β = arctan(1/2) ≈ 26,57°.

To pomeni, da se krivulja v točki (1,1) vzpenja pod kotom približno 63,43° glede na os x in približno 26,57° glede na os y.

ZAKLJUČEK

Koti med grafom funkcije in koordinatnima osema se izražajo s pomočjo smernega koeficienta tangente. Ti koti natančno opišejo usmerjenost krivulje v izbrani točki in so pomembni za geometrijsko interpretacijo analitičnih funkcij.