Smerni koeficient tangente in normale

SMERNI KOEFICIENT TANGENTE IN NORMALE

OSNOVNI POJMI GRAFIČNE ANALIZE

Ko preučujemo funkcije in njihove grafe, nas pogosto zanima, kakšna je usmerjenost premice, ki se “dotika” grafa v določeni točki. Ta premica se imenuje tangenta. Pravokotnica na tangento v isti točki se imenuje normala. Obe premici sta določeni s t. i. smernim koeficientom, ki meri nagib premice glede na vodoravno os.

SMERNI KOEFICIENT TANGENTE

Tangenta v neki točki grafa funkcije je premica, ki se v tej točki dotika grafa in ima enak naklon kot funkcija. Smerni koeficient tangente v točki x0 je enak vrednosti odvoda funkcije f pri x0, torej:

k_t = f′(x0).

To pomeni, da če imamo podano funkcijo f in izračunamo njen odvod, dobimo z vrednostjo odvoda v izbrani točki smerni koeficient tangente.

SMERNI KOEFICIENT NORMALE

Normala je premica, ki poteka skozi isto točko kot tangenta, vendar je nanjo pravokotna. Če je tangenta naraščajoča, je normala padajoča in obratno. Matematično je smerni koeficient normale podan kot:

k_n = -1 / f′(x0), če f′(x0) ≠ 0.

Tako je normala definirana le v točkah, kjer je tangenta definirana in njen smerni koeficient ni enak 0. Če je f′(x0) = 0, potem je tangenta vodoravna, normala pa navpična (in nima definiranega smernega koeficienta).

PRIMER: FUNKCIJA F(X) = X² V TOČKI X = 1

Najprej izračunamo odvod:
f′(x) = 2x → f′(1) = 2.

Smerni koeficient tangente je torej k_t = 2.
Smerni koeficient normale je:
k_n = -1 / 2.

Tangenta ima v točki (1, 1²) = (1, 1) enačbo:
y – 1 = 2(x – 1) → y = 2x – 1.
Normala ima enačbo:
y – 1 = (-1/2)(x – 1) → y = -0.5x + 1.5.

ZAKLJUČEK

Smerni koeficient tangente je enak vrednosti odvoda funkcije v določeni točki. Normala, kot pravokotnica na tangento, ima smerni koeficient, ki je negativni obrat tangentinega, če ta obstaja. Oba koeficienta sta ključna pri opisu lokalne geometrije grafa funkcije.