Elipsa – poglavje

ELIPSA

DEFINICIJA IN GEOMETRIJSKA LASTNOST

Elipsa je množica vseh točk v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh danih točk, imenovanih gorišči, stalna. To pomeni, da za vsako točko T(x, y) na elipsi velja:

|TF₁| + |TF₂| = 2a,
kjer sta F₁ in F₂ gorišči elipse, in 2a je dolžina glavne osi.

Elipsa je simetrična glede na svojo glavno os in stransko os, in ima značilno ovalno obliko. V posebnem primeru, ko sta gorišči v isti točki (g = 0), elipsa postane krog.

KANONIČNA OBLIKA ENAČBE

Standardna enačba elipse s središčem v izhodišču je:

x²/a² + y²/b² = 1, kjer sta a, b > 0

• a je polos glavne osi (vodoravne, če je a > b),
• b je polos stranske osi (navpične),
• Če je a = b, dobimo krog,
• Če je a > b, je glavna os vodoravna,
• Če je b > a, je glavna os navpična.

ELEMENTI ELIPSE

• Središče elipse: točka presečišča glavne in stranske osi
• Gorišči (F₁ in F₂): ležita na glavni osi, simetrično glede na središče
• Glavna os (dolžina 2a): poteka skozi gorišči
• Stranska os (dolžina 2b): pravokotna na glavno os v središču
• Ekscentričnost (e): meri sploščenost elipse in je dana z izrazom
  e = c/a, kjer je c² = a² – b²

PRIMER

Naj bo elipsa z enačbo:
x²/9 + y²/4 = 1

• a² = 9 → a = 3
• b² = 4 → b = 2
• Glavna os je vodoravna
• Gorišči: c = √(a² – b²) = √(9 – 4) = √5
• Torej F₁ = (–√5, 0), F₂ = (√5, 0)

SPLOŠNA OBLIKA ELIPSE

Elipso lahko zapišemo tudi v splošni obliki enačbe drugega reda:
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
kjer je B = 0, A ≠ C, in A·C > 0

S preoblikovanjem (dopolnjevanjem do kvadrata) pridemo do kanonične oblike in tako določimo njene značilnosti.

GRAFIČNE LASTNOSTI

• Graf elipse je zaprta krivulja
• Ima dve simetrijski osi in središčno simetrijo
• Ne seka premic, ki so oddaljene več kot a ali b od središča, kar določa meje definicijskega območja

ZAKLJUČEK

Elipsa je ena izmed treh osnovnih stožnic in je definirana kot množica točk z enako vsoto razdalj do dveh gorišč. Njena standardna enačba omogoča analitično obravnavo, izračun geometrijskih značilnosti ter grafično predstavitev. Zaradi svoje simetrije in zaprte oblike ima pomembno vlogo v geometriji krivulj drugega reda.