Krožnica

KROŽNICA

DEFINICIJA IN ANALITIČNA OBLIKA

Krožnica je množica vseh točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke, imenovane središče. Razdalja od središča do katere koli točke na krožnici se imenuje polmer. Če je središče v točki S(x₀, y₀) in je polmer enak r, potem je analitična enačba krožnice:

(x – x₀)² + (y – y₀)² = r²

To je posebna oblika enačbe elipse, kjer sta polosi enaki (a = b = r), zato je krožnica posebna vrsta stožnice.

SESTAVNI ELEMENTI

• Središče (x₀, y₀): določuje lego krožnice v ravnini
• Polmer r: pozitivno realno število, ki določa velikost
• Premer d = 2r: največja razdalja med dvema točkama na krožnici
• Tangentna premica: dotika se krožnice v eni točki in je pravokotna na radij
• Sekanta: premica, ki krožnico seka v dveh točkah
• Chord (tetiva): daljica, ki povezuje dve točki na krožnici

STANDARDNE POLOŽAJNE PRIMERJAVE

• Krožnica s središčem v izhodišču:
  Če je središče v (0, 0), dobi enačba obliko:
  x² + y² = r²
• Splošna oblika enačbe krožnice:
  Po razširitvi kvadratov dobimo:
  x² + y² + Dx + Ey + F = 0,
  kjer iz koeficientov D, E in F lahko s pomočjo dopolnjevanja kvadrata določimo središče in polmer.

PRIMER

Naj bo dana enačba krožnice:
(x – 3)² + (y + 2)² = 16

• Središče: S(3, –2)
• Polmer: r = √16 = 4

Točka T(3, 2) leži na krožnici, saj velja:
(3 – 3)² + (2 + 2)² = 0 + 16 = 16

DOPOLNJEVANJE DO KVADRATA

Če je podana krožnica v splošni obliki:
x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0,
jo preoblikujemo:

(x² – 4x) + (y² + 6y) = 3
(x – 2)² – 4 + (y + 3)² – 9 = 3
(x – 2)² + (y + 3)² = 16

Torej:

• središče: (2, –3)
• polmer: 4

POVEZAVA S STOŽNICAMI

Krožnica je posebna stožnica, kjer diskriminanta splošne enačbe krivulje drugega reda znaša Δ < 0 in velja A = C, B = 0. Gre torej za simetričen primer elipse.

ZAKLJUČEK

Krožnica je osnovna ravninska krivulja, ki se pojavlja kot poseben primer elipse oziroma stožnice. Njena enačba v standardni ali splošni obliki omogoča natančno analizo lege in velikosti krožnice v ravnini. Poznavanje njenih elementov in geometrijskih lastnosti je temelj pri obravnavi krožnih in sferičnih struktur v geometriji in analitični geometriji.