Stožnice – krivulje II. reda

STOŽNICE – KRIVULJE II. REDA

DEFINICIJA IN GEOMETRIJSKI IZVOR

Stožnice ali krivulje drugega reda so ravninske geometrijske množice točk, ki jih lahko opišemo s splošno enačbo druge stopnje v dveh spremenljivkah:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, kjer so A, B, C, D, E, F ∈ ℝ, in (A, B, C) ≠ (0, 0, 0).

Te krivulje nastanejo tudi kot presečišča ravnine in krožnega stožca, od tod tudi ime “stožnice”. Glede na položaj ravnine in njen kot z osjo stožca ločimo elipso, hiperbolo, parabolo in posebne degenerirane primere (dve premici, ena premica, prazna množica, točka).

VRSTE STOŽNIC

1. ELIPSA
Nastane, ko ravnina seka stožec pod manjšim kotom od naklona stranic. V posebnem primeru, ko sta osi enaki, dobimo krog.
Splošna oblika (po preoblikovanju):
(x – x₀)²/a² + (y – y₀)²/b² = 1
Značilnosti:

• Zaprta krivulja
• Dve osi simetrije
• Gorišči in središče
• Krog: a = b

2. HIPERBOLA
Nastane, ko ravnina seka obe polovici stožca.
Splošna oblika:
(x – x₀)²/a² – (y – y₀)²/b² = 1
Značilnosti:

• Dve veji, ki se oddaljujeta
• Asimptoti
• Središče in gorišči

3. PARABOLA
Nastane, ko je ravnina vzporedna s stransko ploskvijo stožca.
Splošna oblika:
(y – y₀) = a(x – x₀)² ali obratno
Značilnosti:

• Ena veja
• Ena os simetrije
• Vrhnja točka (teme), gorišče in direktna premica

DEGENERIRANE STOŽNICE
Posebni primeri, ko stožnica razpade na:

• dve premici (npr. x² – y² = 0),
• eno premico (npr. x² = 0),
• točko (npr. x² + y² = 0),
• prazno množico (npr. x² + y² + 1 = 0 v ℝ).

KLASIFIKACIJA PO DISKRIMINANTI

Stožnico določimo tudi glede na diskriminanto splošne enačbe:

Δ = B² – 4AC

• Δ < 0 → elipsa (ali krog, če A = C, B = 0)
• Δ = 0 → parabola
• Δ > 0 → hiperbola

ZAKLJUČEK

Stožnice so temeljne ravninske krivulje drugega reda, ki se pojavljajo kot presečišča ravnin s krožnim stožcem. Njihovo obliko in značilnosti določajo koeficienti v splošni enačbi in geometrijska razmerja. S klasifikacijo glede na diskriminanto lahko hitro določimo tip krivulje in nadalje analiziramo njeno zgradbo in lastnosti.